ÁLGEBRA LINEAL

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SELECCIÓN Y ORGANIZACIÓN DE CONTENIDOS

Unidad Nº 1: MATRICES. DETERMINANTES.

Matrices. Matrices especiales: nula, unidad, diagonal, triangular superior, triangular inferior, simétrica, antisimétrica. Igualdad de matrices. Suma y producto de matrices. Propiedades. Producto de un escalar por una matriz. Propiedades. Transpuesta de una matriz. Propiedades. Matrices inversibles. Propiedades. Aplicaciones.

Función determinante de orden n. Propiedades. Cálculo numérico de determinantes empleando propiedades. Cofactor de un elemento de una matriz. Desarrollo del determinante de una matriz por medio de los cofactores de los elementos de una fila o de una columna. Cálculo numérico de determinantes empleando cofactores. Adjunta de una matriz. Propiedad. Condición necesaria y suficiente para la existencia de la inversa de una matriz. Interpretación geométrica de los determinantes de orden 2 y de orden 3. Aplicaciones de los determinantes a la geometría analítica.


Unidad Nº 2:SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Operaciones elementales de filas. Matrices equivalentes por filas. Matriz escalón por filas. Rango de una matriz. Propiedades. Matriz escalón reducida por filas. Rango de una matriz. Propiedades. Obtención de la inversa de una matriz por el método de Gauss-Jordan. Sistemas de ecuaciones lineales. Sistemas homogéneos y no homogéneos. Conjunto solución de sistemas de ecuaciones lineales. Sistemas compatibles. Sistemas incompatibles. Teorema de Rouché-Frobenius. Corolario. Relación entre los conjuntos solución de un sistema compatible y del sistema homogéneo asociado.

Métodos para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales: Método de Gauss y Método de Gauss-Jordan. Método de la inversa (Teorema de Crámer). Método de los determinantes (Regla de Crámer). Método iterativo de Jacobi. Método iterativo de Gauss-Seidel.


Unidad Nº 3:ESPACIOS VECTORIALES

Ley de composición interna. La estructura algebraica Cuerpo. Propiedades de los cuerpos. Ley de composición externa. La estructura algebraica de Espacio Vectorial. Propiedades. El espacio vectorial Rnde las n-uplas ordenadas de números reales. El espacio vectorial Cnde las n-uplas ordenadas de números complejos. Los espacios vectoriales Rmxn yCmxn de las matrices de m filas y n columnas con coeficientes reales y complejos respectivamente. El espacio vectorial Rn [x] de los polinomios con coeficientes reales de grado menor o igual que n en la  variable x.

Subespacio vectorial. Intersección de subespacios. Suma de subespacios. Suma directa. Combinación lineal de vectores. Subespacio generado por un conjunto de  vectores. Generador de un espacio vectorial. El espacio columna  de una matriz. El espacio fila de una matriz. Conjuntos linealmente independientes. Conjuntos linealmente dependientes. Rango de una matriz.

Base de un espacio vectorial. Coordenadas de un vector con respecto a una base. Dimensión de un espacio vectorial. Relación entre las dimensiones de un espacio vectorial de dimensión finita y la de sus subespacios vectoriales. Propiedades.


Unidad N º 4: ESPACIOS VECTORIALES CON PRODUCTO INTERIOR

Producto interior en espacios vectoriales reales. Propiedades. Norma de un vector. Propiedades de la norma de un vector. Versor de un vector. Desigualdad de Cauchy-Schwarz. Desigualdad triangular. Ortogonalidad entre vectores. Proyección de un vector sobre otro vector.Conjunto ortogonal. Conjunto ortonormal. Propiedad de los conjuntos ortogonales de vectores no nulos. Bases ortogonales. Bases ortonormales. Teorema de existencia de bases ortonormales.


Unidad N º 5: TRANSFORMACIONES LINEALES Y MATRICES.

Transformaciones lineales. Propiedades. Teorema de existencia y unicidad de transformaciones lineales. Núcleo de una transformación lineal. Propiedades. Imagen de una transformación lineal. Propiedades. Matriz asociada a una transformación lineal.

Los sistemas de ecuaciones lineales y las transformaciones lineales. El rango de la matriz de coeficientes y la dimensión de la imagen de la transformación lineal asociada. Vínculo entre el conjunto solución de un sistema homogéneo, y el núcleo de la transformación lineal asociada a la matriz de coeficientes.


Unidad Nº 6: VALORES Y VECTORES PROPIOS.

Operadores lineales. Valores y vectores propios de un operador lineal. Espacio Propio asociado a un valor propio. Vectores propios asociados a valores propios diferentes. Operadores lineales diagonalizables. Propiedad. Valores y vectores propios de una matriz cuadrada. Polinomio característico. Ecuación característica. Método para la determinación de los valores y de los vectores propios de una matriz.  Matrices semejantes. Propiedades. Matrices diagonalizables. Propiedades. Matrices reales simétricas. Diagonalización ortogonal. Métodos iterativos para calcular los valores propios de matrices: Método de las potencias. Método de las potencias inversas.  Formas bilineales cuadráticas.